Геометрический кусочно-кубический интерполяционный многочлен Безье с непрерывностью C2
Ключевые слова:
Полином интерполяции, кривая Безье, сплайн Безье, SSE, MAE, RMSEАннотация
Кривая Безье – это параметрический полином, который применяется для получения хороших методов кусочной интерполяции с большим преимуществом перед другими кусочными полиномами. Следовательно, критически важно построить кривые Безье, которые были бы гладкими и могли бы повысить точность решений. Большинство известных стратегий определения внутренних контрольных точек для кусочных кривых Безье обеспечивают только частичную гладкость, удовлетворяющую первому порядку непрерывности. Некоторые решения позволяют строить интерполяционные полиномы с гладкостью по ширине вдоль аппроксимирующей кривой. Однако они все еще не могут обрабатывать расположение внутренних контрольных точек. Частичная гладкость и неконтролирующее расположение внутренних контрольных точек могут повлиять на точность приблизительной кривой набора данных. Чтобы улучшить гладкость и точность предыдущих стратегий, предлагается новый кусочно-кубический многочлен Безье второго порядка непрерывности C2 для оценки пропущенных значений. Предлагаемый метод использует геометрическое построение для поиска внутренних контрольных точек для каждого смежного подынтервала указанного набора данных. Не только предлагаемый метод сохраняет стабильность и гладкость, анализ ошибок численных результатов также показывает, что результирующий интерполирующий полином более точен, чем те, которые получены с помощью существующих методов.
Литература
2. Amenta N., Bern M. Surface Reconstruction by Voronoi Filtering // Discrete & Computational Geometry. 1999. vol. 22. pp. 481–504.
3. Kondrashov D., Ghil M. Spatio-Temporal Filling of Missing Points in Geophysical Data Sets // Nonlinear Processes in Geophysics. 2006. vol. 13(2). pp. 151–159.
4. Chen F., Lou W. Degree Reduction of Interval Bézier Curves // CAD Computer Aided Design. 2000. vol. 32(10). pp. 571–582.
5. Wu Q.B., Xia F.H. Shape modification of Bézier curves by constrained optimization // Journal of Zhejiang University: Science. 2005. vol. 6. pp. 124–127.
6. Al-Shemary M.A.F. Interpolation by Using Bézier Curve Numerically with Image Processing Applications // Journal of Al-Qadisiyah for Computer Science and Mathematics. 2011. vol. 3(2). pp. 400–409.
7. Sederberg T.W., Farouki R.T. Approximation by Interval Bézier Curves // IEEE Computer Graphics and Applications. 1992. vol. 12. pp. 87–59.
8. Hwang J.H., Arkin R.C., Kwon D.S. Mobile Robots at your Fingertip: Bezier Curve on-line Trajectory Generation for Supervisory Control // 2003 EEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems. 2003. vol. 2. pp. 1444–1449.
9. Škrjanc I., Klančar G. Cooperative Collision Avoidance Between Multiple Robots Based on Bernstein-Bézier Curves // International Conference on Information Technology Interfaces. 2007. pp. 34–43.
10. Ho M.L., Chan P.T., Rad A.B. Lane Change Algorithm for Autonomous Vehicles via Virtual Curvature Method // Journal of Advanced Transportation. 2009. vol. 43(1). pp. 47–70.
11. Korzeniowski D., Ślaski G. Method of Planning a Reference Trajectory of a Single Lane Change Manoeuver with Bezier Curve // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2016. vol. 148(1). 243 p.
12. Lattarulo R. et al. Urban Motion Planning Framework Based on N-Bézier Curves Considering Comfort and Safety // Journal of Advanced Transportation. 2018. 29 p.
13. Perez J., Godoy J., Villagra J., Onieva E. Trajectory Generator for Autonomous Vehicles in Urban Environments // 2013 IEEE International Conference on Robotics and Automation. 2013. pp. 409–414.
14. Ge Q.J., Kang D. Motion Interpolation With G2 Composite Bezier Motions. 1995. pp. 520–525.
15. Pollock D.S.G. Signal Processing and its Applications // Handbook of time series analysis, signal processing, and dynamics. 1999. 543 p.
16. Shemanarev M. A Very Simple Method of Smoothing. Retrieved from The Anti-Grain Geometry 2002. URL: http://www.antigrain.com/agg_research/bezier_ interpolation.html (дата обращения: 12.12.2020).
17. Yau H.T., Wang J.B. Fast Bezier Interpolator with Real-Time Lookahead Function for High-Accuracy Machining // International Journal of Machine Tools and Manufacture. 2007. vol. 47(10). pp. 1518–1529.
18. Saaban A., Zainudin L., Bakar M.N.A. On Piecewise Interpolation Techniques for Estimating Solar Radiation Missing Values in Kedah // AIP Conference Proceedings, 1635 (Icoqsia). 2014. pp. 217–221.
19. Karim S.A.A. Shape Preserving by Using Rational Cubic Ball Interpolant // Far East Journal of Mathematical Sciences. 2015. vol. 96(2). pp. 211–230.
20. Saaban A., Zainudin M.L., Abu Bakar M.N. Piecewise Positivity Preserving Cubic Bezier Interpolation for Estimating Solar Radiation Missing Value in Penang, Malaysia // Journal of Mathematics and Statistics. 2016. vol. 12(4). pp. 302–307.
21. Ueda E.K. et al. Piecewise Bézier Curve Fitting by Multiobjective Simulated Annealing // IFAC-PapersOnLine. 2016. vol. 49(31). pp. 49–54.
22. Stelia O., Potapenko L., Sirenko I. Application of Piecewise-Cubic Functions for Constructing a Bezier Type Curve of C1 Smoothness // Eastern-European Journal of Enterprise Technologies. 2018. vol. 4(2). pp. 46–52.
23. Zulkifli N.A.B. et al. Image Interpolation Using a Rational Bi-Cubic Ball // Mathematics. 2019. vol. 7(11). 29 p.
24. Elber G. Interpolation Using Bézier Curves // Graphics Gems III (IBM Version). 1992. vol. 0. pp. 133–136.
25. Quarteroni A., Sacco R., Saleri F. Numerical Mathematics // Applied Mathematics 2000. vol. 37. 57 p.
26. Hansford D. Bézier Techniques // Handbook of Computer Aided Geometric Design 2002. pp. 75–109.
27. Burden R.L., Faires J.D. Numerical Analysis (Tenth Edit) // Brooks/Cole. 2015.
28. Rabbath C.A., Corriveau D. A comparison of piecewise cubic Hermite interpolating polynomials, cubic splines and piecewise linear functions for the approximation of projectile aerodynamics // Defence Technology. 2019. vol. 15(5). pp. 741–757.
29. Moler C. Makima Piecewise Cubic Interpolation // MathWorks. 2019.
Geometric Piecewise Cubic Bézier Interpolating Polynomial with C2 Continuity
Abstract
Bézier curve is a parametric polynomial that is applied to produce good piecewise interpolation methods with more advantage over the other piecewise polynomials. It is, therefore, crucial to construct Bézier curves that are smooth and able to increase the accuracy of the solutions. Most of the known strategies for determining internal control points for piecewise Bezier curves achieve only partial smoothness, satisfying the first order of continuity. Some solutions allow you to construct interpolation polynomials with smoothness in width along the approximating curve. However, they are still unable to handle the locations of the inner control points. The partial smoothness and non-controlling locations of inner control points may affect the accuracy of the approximate curve of the dataset. In order to improve the smoothness and accuracy of the previous strategies, а new piecewise cubic Bézier polynomial with second-order of continuity C2 is proposed in this study to estimate missing values. The proposed method employs geometric construction to find the inner control points for each adjacent subinterval of the given dataset. Not only the proposed method preserves stability and smoothness, the error analysis of numerical results also indicates that the resultant interpolating polynomial is more accurate than the ones produced by the existing methods.
Опубликован
Как цитировать
Раздел
Copyright (c) Mustafa Abbas Fadhel, Zurni B Omar
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
Авторы, которые публикуются в данном журнале, соглашаются со следующими условиями: Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и передают журналу право первой публикации вместе с работой, одновременно лицензируя ее на условиях Creative Commons Attribution License, которая позволяет другим распространять данную работу с обязательным указанием авторства данной работы и ссылкой на оригинальную публикацию в этом журнале. Авторы сохраняют право заключать отдельные, дополнительные контрактные соглашения на неэксклюзивное распространение версии работы, опубликованной этим журналом (например, разместить ее в университетском хранилище или опубликовать ее в книге), со ссылкой на оригинальную публикацию в этом журнале. Авторам разрешается размещать их работу в сети Интернет (например, в университетском хранилище или на их персональном веб-сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению, а также к большему количеству ссылок на данную опубликованную работу (Смотри The Effect of Open Access).