О взаимосвязях квазиортогональных матриц, построенных на известных последовательностях чисел
Ключевые слова:
числовые последовательности, числа Мерсенна, числа Ферма, ортогональные матрицы, квазиортогональные матрицы, матрицы Адамара, матрицы Мерсенна, матрицы Эйлера, матрицы Ферма, цепочки матриц, алгоритмы вычисления квазиортогональных матрицАннотация
Цель работы: показать связь чисел, принадлежащих известным после-довательностям, и квазиортогональных матриц, существующих на порядках, равных этим числам, а также взаимосвязь таких матриц через алгоритмы вычисления. Методы: анализ последовательностей квазиортогональных матриц абсолютного и локального максимумов детерминанта, выделение в матрицах структурных инвариантов, сопоставление алгоритмов вычисления таких матриц. Результаты: рассмотрены известные последовательности натуральных чисел, сформулировано определение матрицы, ассоциированной с натуральным числом. Приведены последовательности чисел, для которых доказано существование ассоциированных с ними квазиортогональных матриц. Высказано предположение, что ассоциированные матрицы существуют для всех натуральных чисел. Рассмотрены свойства типов таких матриц, их взаимосвязи через алгоритмы вычисления. Приведены модифицированные алгоритмы и основные цепочки матриц Эйлера и Мерсенна, последовательности порядков которых являются системообразующими. Практическая значимость: квазиортогональные матрицы абсолютного и локального максимумов детерминанта имеют непосредственное практическое значение для задач помехоустойчивого кодирования, сжатия и маскирования видеоинформации. Их разнообразие позволяет разработчикам технических систем значительно облегчить выбор матрицы, оптимальной для конкретной задачи.Литература
1. Algebraic Design Theory and Hadamard Matricess / Edited by C.J. Colbourn // Springer Proceedings in Mathematics & Statistics (ADTHM). 2014. vol. 133. 260 p.
2. Shalom E. La conjecture de Hadamard (I) – Images des Mathématiques, CNRS. 2012. URL: http://images.math.cnrs.fr/La-conjecture-de-Hadamard-I.html (дата обращения: 15.03.2016).
3. Балонин Н.А., Балонин Ю.Н., Востриков А.А., Сергеев М.Б. Вычисление матриц Мерсенна-Уолша // Вестник компьютерных и информационных технологий (ВКИТ). 2014. № 11. С. 51–55.
4. Sylvester J.J. Thoughts on inverse orthogonal matrices, simultaneous sign successions, and tessellated pavements in two or more colours, with applications to Newton's rule, ornamental tile-work, and the theory of numbers // Philosophical Magazine. 1867. vol. 34. no. 232. pp. 461–475.
5. Hadamard J. Résolution d'une question relative aux determinants // Bulletin des Sciences Mathématiques. 1893. vol. 17. pp. 240–246.
6. Balonin N.A., Sergeev M.B. Quasi-Orthogonal Local Maximum Determinant Matriсes // Applied Mathematical Sciences. 2015. vol. 9. no. 6. pp. 285–293.
7. Belevitch V. Theorem of 2n-terminal networks with application to conference telephony // Electr. Commun. 1950. vol. 26. pp. 231–244.
8. Балонин Н.А., Сергеев М.Б., Мироновский Л.А. Вычисление матриц Адамара-Мерсенна // Информационно-управляющие системы. 2012. № 5. С. 92–94.
9. Sergeev A. Generalized Mersenne Matriсes and Balonin’s Conjecture // Automatic Control and Computer Sciences. 2014. vol. 4. pp. 35–43.
10. Балонин Н.А., Сергеев М.Б., Мироновский Л.А. Вычисление матриц Адамара-Ферма // Информационно-управляющие системы. 2012. № 6. С. 90–93.
11. Balonin N.A., Vostrikov A.A., and Sergeev M.B. On Two Predictors of Calculable Chains of Quasi-Orthogonal Matrices // Automatic Control and Computer Sciences. 2015. vol. 49. no. 3. pp. 153–158.
12. Balonin N.A., Sergeev M.B. Quasi-Orthogonal Matrices with Level Based on Ratio of Fibonacci Numbers // Applied Mathematical Sciences. 2015. vol. 9. no. 86. pp. 4261–4268.
13. Balonin N.A., Seberry J. A Review and New Symmetric Conference Matrices // Информационно-управляющие системы. 2014. № 4(71). pp. 2–7.
14. Балонин Н.А., Сергеев М.Б. Взвешенная конференц-матрица, обобщающая матрицу Белевича на 22-м порядке // Информационно-управляющие системы. 2013. № 5. С. 97–98.
15. Балонин Ю.Н., Сергеев М.Б. М-матрица 22-го порядка // Информационно-управляющие системы. 2011. № 5. С. 87–90.
16. Djokovic D.Z., Kotsireas I. S. Compression of periodic complementary sequences and applications // Des. Codes Cryptogr. 2015. vol. 74. pp. 365–377.
2. Shalom E. La conjecture de Hadamard (I) – Images des Mathématiques, CNRS. 2012. URL: http://images.math.cnrs.fr/La-conjecture-de-Hadamard-I.html (дата обращения: 15.03.2016).
3. Балонин Н.А., Балонин Ю.Н., Востриков А.А., Сергеев М.Б. Вычисление матриц Мерсенна-Уолша // Вестник компьютерных и информационных технологий (ВКИТ). 2014. № 11. С. 51–55.
4. Sylvester J.J. Thoughts on inverse orthogonal matrices, simultaneous sign successions, and tessellated pavements in two or more colours, with applications to Newton's rule, ornamental tile-work, and the theory of numbers // Philosophical Magazine. 1867. vol. 34. no. 232. pp. 461–475.
5. Hadamard J. Résolution d'une question relative aux determinants // Bulletin des Sciences Mathématiques. 1893. vol. 17. pp. 240–246.
6. Balonin N.A., Sergeev M.B. Quasi-Orthogonal Local Maximum Determinant Matriсes // Applied Mathematical Sciences. 2015. vol. 9. no. 6. pp. 285–293.
7. Belevitch V. Theorem of 2n-terminal networks with application to conference telephony // Electr. Commun. 1950. vol. 26. pp. 231–244.
8. Балонин Н.А., Сергеев М.Б., Мироновский Л.А. Вычисление матриц Адамара-Мерсенна // Информационно-управляющие системы. 2012. № 5. С. 92–94.
9. Sergeev A. Generalized Mersenne Matriсes and Balonin’s Conjecture // Automatic Control and Computer Sciences. 2014. vol. 4. pp. 35–43.
10. Балонин Н.А., Сергеев М.Б., Мироновский Л.А. Вычисление матриц Адамара-Ферма // Информационно-управляющие системы. 2012. № 6. С. 90–93.
11. Balonin N.A., Vostrikov A.A., and Sergeev M.B. On Two Predictors of Calculable Chains of Quasi-Orthogonal Matrices // Automatic Control and Computer Sciences. 2015. vol. 49. no. 3. pp. 153–158.
12. Balonin N.A., Sergeev M.B. Quasi-Orthogonal Matrices with Level Based on Ratio of Fibonacci Numbers // Applied Mathematical Sciences. 2015. vol. 9. no. 86. pp. 4261–4268.
13. Balonin N.A., Seberry J. A Review and New Symmetric Conference Matrices // Информационно-управляющие системы. 2014. № 4(71). pp. 2–7.
14. Балонин Н.А., Сергеев М.Б. Взвешенная конференц-матрица, обобщающая матрицу Белевича на 22-м порядке // Информационно-управляющие системы. 2013. № 5. С. 97–98.
15. Балонин Ю.Н., Сергеев М.Б. М-матрица 22-го порядка // Информационно-управляющие системы. 2011. № 5. С. 87–90.
16. Djokovic D.Z., Kotsireas I. S. Compression of periodic complementary sequences and applications // Des. Codes Cryptogr. 2015. vol. 74. pp. 365–377.
On Relationships among Quasi-orthogonal Matrices Constructed on the Known Sequences of Prime Numbers
Abstract
The objective of the paper is to show the relationship among numbers, belonging to known sequences of prime numbers, and quasi-orthogonal matrices, existing for orders equal to these numbers, and the relationship among such matrices based on calculating algorithms. Methods: analysis of the sequences of quasi-orthogonal matrices with absolute and local maximum of its determinant, detecting of the structural invariants in the matrices, matching algorithms for calculating these matrices. Results: known sequences of natural numbers are considered, the definition of a matrix, associated with a natural number, is formulated. Sequences of numbers with proved existence of quasi-orthogonal matrices associated with them are presented. It is suggested that associated matrices exist for all positive natural numbers. Properties of these types of matrices, their relationships based on calculating algorithms are considered. There are modified algorithms and general key chains of Euler and Mersenne matrices presented, a sequence of orders of which are systemically important. Practical value: quasi-orthogonal matrices of absolute and local maximum of determinant have immediate practical value for error-correcting coding tasks, video compression and masking. Their diversity allows developers of technical systems greatly facilitate a matrix selection, optimal one for a particular task.
Опубликован
2017-02-02
Как цитировать
Балонин, Ю. Н., Востриков, А. А., Сергеев, А. М., & Егорова, И. С. (2017). О взаимосвязях квазиортогональных матриц, построенных на известных последовательностях чисел. Труды СПИИРАН, 1(50), 209-223. https://doi.org/10.15622/sp.50.9
Раздел
Теоретическая и прикладная математика
Авторы, которые публикуются в данном журнале, соглашаются со следующими условиями:
Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и передают журналу право первой публикации вместе с работой, одновременно лицензируя ее на условиях Creative Commons Attribution License, которая позволяет другим распространять данную работу с обязательным указанием авторства данной работы и ссылкой на оригинальную публикацию в этом журнале.
Авторы сохраняют право заключать отдельные, дополнительные контрактные соглашения на неэксклюзивное распространение версии работы, опубликованной этим журналом (например, разместить ее в университетском хранилище или опубликовать ее в книге), со ссылкой на оригинальную публикацию в этом журнале.
Авторам разрешается размещать их работу в сети Интернет (например, в университетском хранилище или на их персональном веб-сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению, а также к большему количеству ссылок на данную опубликованную работу (Смотри The Effect of Open Access).
