Метод многокритериальной оптимизации управляемых систем с распределенными параметрами

Аннотация

Предлагается конструктивный метод многокритериальной оптимизации процессов управления детерминированными и не полностью определенными управляемыми системами с распределенными параметрами, описываемыми линейными многомерными уравнениями в частных производных параболического типа с внутренними и граничными управляющими воздействиями в условиях заданной точности приближения конечного состояния объекта к требуемому пространственному распределению управляемой величины. Предлагаемый в статье подход базируется на однокритериальной версии в виде минимаксной свертки нормализуемых критериев качества и последующем переходе к эквивалентной форме типовой вариационной задачи с ограничениями. Анализ проводится применительно к детерминированной модели объекта, описываемой бесконечной системой дифференциальных уравнений относительно временных мод разложения управляемой величины в ряд по собственным функциям начально-краевой задачи. Дальнейшие процедуры предварительной параметризации управляющих воздействий на основе аналитических условий оптимальности и редукции к задачам полубесконечного программирования позволяют найти искомые экстремали с использованием их чебышёвских свойств и фундаментальных закономерностей предметной области в типичных для приложений условиях оценки в равномерной метрике точности приближения конечного состояния объекта к требуемому. Полученные результаты распространяются на задачи программного управления по принципу гарантированного результата ансамблями траекторий движения объекта в условиях интервальной неопределенности параметрических характеристик распределенной системы и множественных внешних возмущений. Приводится представляющий самостоятельный интерес пример решения предлагаемым методом задачи многокритериальной оптимизации передовой технологии индукционного нагрева металлических полуфабрикатов перед последующей обработкой давлением. В качестве компонент векторного критерия оптимизации рассматриваются расход энергии на нагрев, потери металла на термохимические взаимодействия и точность достижения заданной конечной температуры нагрева.

Abstract

The constructive method for multicriteria optimization of control processes of deterministic and not fully defined controlled systems with distributed parameters, described by linear multidimensional parabolic partial differential equations with internal and boundary control actions, is proposed. The optimization problem is considered when an uniform approximation accuracy of object’s final state to the required spatial distribution of controlled function is given. The suggested approach is based on the one-criterion option in the form of minimax convolution of the normalized quality criteria and the subsequent transition to the equivalent form of a typical variational problem with constraints. It is applied to the deterministic model of an object described by an infinite system of differential equations with respect to time-dependent modes of the controlled quantity expansion in a series of eigenfunctions of the initial-boundary value problem. Further procedures for the preliminary parametrization of control actions, based on analytical optimum conditions and reduction to semi-infinite programming problems, allow one to find the desired extremals using their Chebyshev properties and fundamental laws of the domain in typical application conditions of estimating the accuracy of approaching the object’s final state to the required one in a uniform metric. The obtained results are extended to the tasks of program control on the principle of guaranteed result by ensembles of object trajectories under conditions of interval uncertainty of the parametric characteristics of the distributed system and multiple external disturbances. A demonstrated example of a multicriteria optimization of an innovation technology of metal induction heating prior a hot forming is of special interest. The typical optimization criteria such as energy consumption, metal loss due to scale formation, and heating accuracy are considered as components of vector optimization criterion.