Аналитически-численный алгоритм вычисления корней алгебраических уравнений с заданными предельными погрешностями
Ключевые слова:
алгебраическое уравнение, нелинейное дифференциальное уравнение, аналитически-численный метод, приближенное значение корняАннотация
Предложен алгоритм вычисления приближенных значений корней алгебраических уравнений с заданными предельными абсолютными погрешностями. Математическую основу алгоритма составляет аналитически-численный метод решения нелинейных интегрально-дифференциальных уравнений с нестационарными коэффициентами. Аналитически-численный метод относится к классу одношаговых непрерывных методов переменного порядка с адаптивной процедурой выбора шага расчета, формализованной оценкой погрешности производимых вычислений на каждом шаге и погрешности, накапливаемой в ходе расчета. Предлагаемый алгоритм вычисления приближенных значений корней алгебраического уравнения с заданными предельными абсолютными погрешностями состоит из двух этапов. Результатом выполнения первого этапа служат числовые интервалы, содержащие неизвестные точные значения корней алгебраического уравнения. На втором этапе вычисляем приближенные значения этих корней с заданными предельными абсолютными погрешностями. В качестве примера использования предложенного алгоритма приведено нахождение корней алгебраического уравнения пятого порядка с тремя различными значениями предельной абсолютной погрешности.
На основе полученных результатов сделаны следующие выводы. Предложенный алгоритм позволяет выделить числовые интервалы, содержащие неизвестные точные значения корней. Знание этих интервалов дает возможность вычисления приближенных значений корней с любой заданной предельной абсолютной погрешностью. Результативность алгоритма, то есть гарантия достижения поставленной цели не зависит от выбора начальных условий. Алгоритм не итерационный, поэтому число шагов расчета, которое необходимо для выделения числового интервала, содержащего неизвестное точное значение какого-либо из корней алгебраического уравнения, всегда ограничено. Алгоритм при поиске определенного корня алгебраического уравнения вычислительно полностью автономен.
Литература
2. Petkovica M.S., Petkovic L.D., Dzunic J. On an Efficient Simultaneous Method for Finding Polynomial zeros // Applied Mathematics Letters. 2014. vol. 28. pp. 60–65.
3. Nedzhibov G.H. A Derivative-Free Iterative Method for Simultaneously Computing an Arbitrary Number of Zeros of Nonlinear Equations // Computers and Mathematics with Applications. 2012. vol. 63. no. 7. pp. 1185–1191.
4. Khamisov O.V. Finding Roots of Nonlinear Equations Using the Method of Concave Support Functions // Mathematical Notes. 2015. vol. 98. no. 3-4. pp. 484–491.
5. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы: учеб. пособие // СПб.: Лань. 2014.
6. Hamming R.W. Numerical Method for Scientists and Engineers // New York: Dover Publications Inc. 1987. 752 p.
7. Воронова М.Е., Симакова М.Н., Симаков Е.Е. Методы решения нелинейных уравнений // Юный ученый. 2016. № 3. С. 102–105.
8. Alharbi A.R. et al. Higher Order Numerical Approaches for Nonlinear Equations by Decomposition Technique // IEEE Access. 2019. vol. 7. pp. 44329–44337.
9. Zafar F., Cordero A., Quratulain R., Torregrosa J.R. Optimal Iterative Methods for Finding Multiple Roots of Nonlinear Equations Using Free Parameters // Journal of Mathematical Chemistry. 2017. vol. 56. pp. 1884–1891.
10. Akram S., Zafar F., Yasmin N. An Optimal Eighth-Order Family of Iterative Methods for Multiple Roots // Mathematics. 2019. vol. 7. no. 8. pp. 672.
11. Behl R., Cordero A., Motsa S.S., Torregrosa J.R. An Eighth-order Family of Optimal Multiple Root Finders and its Dynamics // Numerical Algorithms. 2018. vol. 77. no. 4. pp. 1249–1272.
12. Soleymani F., Babajee D.K.R., Lotfi T. On a Numerical Technique for Finding Multiple Zeros and its Dynamic // Journal of the Egyptian Mathematical Society. 2013. no. 21. no. 3. pp. 346–353.
13. Winkler J.R., Lao X., Hasan M. The Computation of Multiple Roots of a Polynomial // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2012. vol. 236. no. 14. pp. 3478–3497.
14. Yun B.I. A Derivative Free Iterative Method for Finding Multiple Roots of Nonlinear Equations // Applied Mathematics Letters. 2009. vol. 22. no. 12. pp. 1859–1863.
15. Jaiswal J.P. An Optimal Order Method for Multiple Roots in Case of Unknown Multiplicity // Algorithms. 2016. vol. 9. no. 1. pp. 10.
16. Тубольцев М.Ф., Маторин С.И., Тубольцева О.М. Эвристический компьютерный алгоритм вычисления кратных корней нелинейного уравнения // Научные ведомости БелГУ. Серия: Экономика. Информатика. 2015. Вып. 34. № 7(204). С. 78–83.
17. Liao Z. et al. Solving Nonlinear Equations System With Dynamic Repulsion-Based Evolutionary Algorithms // IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics: Systems. 2018. vol. 7. pp. 1–12.
18. Gong W., Wang Y., Cai Z., Wang L. Finding Multiple Roots of Nonlinear Equation Systems via a Repulsion-Based Adaptive Differential Evolution // IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics: Systems. 2018. vol. 5. pp. 1–15.
19. Neamvonk J., Phuenaree B., Neamvonk A. A New Method for Finding Root of Nonlinear Equations by Using Nonlinear Regression // Asian Journal of Applied Sciences. 2015. vol. 3. no. 6. pp. 818–822.
20. Yang X.J., Machado J.A.T., Srivastava H.M. A New Numerical Technique for Solving the Local Fractional Diffusion Equation: Two-dimensional Extended Differential Transform Approach // Applied Mathematics and Computation. 2016. vol. 274. pp. 143–151.
21. Kalitkin N.N., Kuzmina L.V. Calculation of Roots and There Multiplicity for Nonlinear Equation // Mathematical Models and Computer Simulations. 2011. vol. 3. no. 1. pp. 65–80.
22. Kalitkin N.N., Kuzmina L.V. The Method of Seconds with Extrapolation for Accurate Calculation of Manifold Roots // Mathematical Models and Computer Simulations. 2011. vol. 23. no. 6. pp. 33–58.
23. Бычков Ю.А. и др. Математическое моделирование и анализ нелинейных систем // СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ». 2015. 302 с.
24. Бычков Ю.А., Соловьева Е.Б., Щербаков С.В. Непрерывные и дискретные нелинейные модели динамических систем // СПб.: Лань. 2018. 420 с.
25. Gofen A.M. Fast Taylor-Series Expansion and the Solution of the Cauchy Problem // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1982. vol. 22. no. 5. pp. 74–88.
26. Гофен А.М. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений методом Тейлора и проблема шага // М.: ИПИ АН СССР. 1991. 29 с.
27. Козин Р. Программирование алгоритмов численных методов линейной алгебры // New York: LAP Lambert Academic Publishing. 2014. 188 с.
28. Волков Е.А. Численные методы: учеб. пособие // СПб.: Лань. 2008. 248 с.
29. Grewal B.S. Numerical Methods in Engineering and Science C, C++, and MATLAB // Dulles: Mercury Learning and Information LLC. 2018. 1597 p.
30. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы // М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2018. 640 с.
31. Калиткин Н.Н. Численные методы: учеб. пособие // СПб.: БХВ-Петербург. 2014. 592 с.
32. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов // М.: ФИЗМАТЛИТ. 2003. 304 с.
Analytical-Numerical Calculation Algorithm of Algebraic Equations Roots with Specified Limits of Errors
Abstract
This paper proposes an algorithm for calculating approximate values of roots of algebraic equations with a specified limit of absolute errors. A mathematical basis of the algorithm is an analytical-numerical method of solving nonlinear integral-differential equations with non-stationary coefficients. The analytical-numerical method belongs to the class of one-step continuous methods of variable order with an adaptive procedure for choosing a calculation step, a formalized estimate of the error of the performed calculations at each step and the error accumulated during the calculation. The proposed algorithm for calculating the approximate values of the roots of an algebraic equation with specified limit absolute errors consists of two stages. The results of the first stage are numerical intervals containing the unknown exact values of the roots of the algebraic equation. At the second stage, the approximate values of these roots with the specified limit absolute errors are calculated. As an example of the use of the proposed algorithm, defining the roots of the fifth-order algebraic equation with three different values of the limiting absolute error is presented.
The obtained results allow drawing the following conclusions. The proposed algorithm enables to select numeric intervals that contain unknown exact values of the roots. Knowledge of these intervals facilitates the calculation of the approximate root values under any specified limiting absolute error. The algorithm efficiency, i.e., the guarantee of achieving the goal, does not depend on the choice of initial conditions. The algorithm is not iterative, so the number of calculation steps required for extracting a numerical interval containing an unknown exact value of any root of an algebraic equation is always restricted. The algorithm of determining a certain root of the algebraic equation is computationally completely autonomous.
Опубликован
Как цитировать
Раздел
Copyright (c) 2019 Юрий Александрович Бычков, Елена Борисовна Соловьева, Сергей Валерьевич Щербаков
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
Авторы, которые публикуются в данном журнале, соглашаются со следующими условиями: Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и передают журналу право первой публикации вместе с работой, одновременно лицензируя ее на условиях Creative Commons Attribution License, которая позволяет другим распространять данную работу с обязательным указанием авторства данной работы и ссылкой на оригинальную публикацию в этом журнале. Авторы сохраняют право заключать отдельные, дополнительные контрактные соглашения на неэксклюзивное распространение версии работы, опубликованной этим журналом (например, разместить ее в университетском хранилище или опубликовать ее в книге), со ссылкой на оригинальную публикацию в этом журнале. Авторам разрешается размещать их работу в сети Интернет (например, в университетском хранилище или на их персональном веб-сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению, а также к большему количеству ссылок на данную опубликованную работу (Смотри The Effect of Open Access).