Фазовое укрупнение полумарковских систем без определения стационарного распределения вложенной цепи Маркова

Аннотация

Рассматривается фазовое укрупнение полумарковских систем, не требующее определения стационарного распределения вложенной цепи Маркова. Под фазовым укрупнением понимается эквивалентная замена полумарковской системы с общим фазовым пространством состояний системой с дискретным пространством состояний. Нахождение стационарного распределения вложенной цепи Маркова для системы с непрерывным фазовым пространством состояний является одним из наиболее трудоемких и не всегда разрешимым этапом, так как в ряде случаев приводит к решению интегральных уравнений с ядрами, содержащими сумму и разность переменных. Для таких уравнений известно только частное решение, а общих решений на сегодняшний день не существует. Для этой цели используется лемма о виде функции распределения разности двух случайных величин, при условии, что первая величина больше вычитаемой. Показано, что вид функции распределения разности двух случайных величин при указанном условии зависит от одной константы, которая определяется численным методом решения уравнения, приведенного в лемме. На основе леммы строится теорема о разности случайной величины и непростого потока восстановления. Использование данного метода демонстрируется на примере моделирования технической системы, состоящей из двух последовательно соединенных технологических ячеек, при условии, что одновременно отказать обе ячейки не могут. Определяются функции распределения времен пребывания системы в укрупненных состояниях, а также в подмножестве работоспособных и неработоспособных состояний. Сравнение результатов моделирования рассматриваемым и классическим методами показало полное совпадение искомых величин.

Abstract

A phase enlargement of semi-Markov systems that does not require determining stationary distribution of the embedded Markov chain is considered. Phase enlargement is an equivalent replacement of a semi-Markov system with a common phase state space by a system with a discrete state space.  Finding the stationary distribution of an embedded Markov chain for a system with a continuous phase state space is one of the most time-consuming and not always solvable stage, since in some cases it leads to a solution of integral equations with kernels containing sum and difference of variables.

For such equations there is only a particular solution and there are no general solutions to date. For this purpose a lemma on a type of a distribution function of the difference of two random variables, provided that the first variable is greater than the subtracted variable, is used.

It is shown that the type of the distribution function of difference of two random variables under the indicated condition depends on one constant, which is determined by a numerical method of solving the equation presented in the lemma.

Based on the lemma, a theorem on the difference of a random variable and a complicated recovery flow is built up. The use of this method is demonstrated by the example of modeling a technical system consisting of two series-connected process cells, provided that both cells cannot fail simultaneously. The distribution functions of the system residence times in enlarged states, as well as in a subset of working and non-working states, are determined. The simulation results are compared by the considered and classical method proposed by V. Korolyuk, showed the complete coincidence of the sought quantities.